Universidad de Granada

Title: Laminaciones mínimas en $\mathbb{R}^3$ y la conjetura de Hoffman-Meeks

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Speaker: Joaquín Pérez (Universidad de Granada)

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Abstract: La conjetura de Hoffman-Meeks afirma que si $M$ es una superficie mínima con curvatura total finita en ​​$\mathbb{R}^3$​ con género $g$ y $k$ finales, entonces $k\leq g+2$. Este problema abierto motiva estudiar los posibles límites de una sucesión de superficies mínimas embebidas $M_n\subset \mathbb{R}^3$​ con género fijo y curvatura total finita. Normalmente, los objetos que aparecen en el límite son laminaciones mínimas con singularidades. Mediante el uso de la teoría de Colding-Minicozzi, daremos un resultado de convergencia para una parcial de la sucesión $M_n$ anterior, si asumimos una cota uniforme del radio de inyectividad de las superficies $M_n$ fuera de un cerrado numerable de $\mathbb{R}^3$. Usaremos este resultado de convergencia para obtener una cota (no explícita) $k\leq C(g)$ del número de finales en la conjetura de Hoffman-Meeks, que sólo depende del género. Esta cota del número de finales produce una cota para el índice de estabilidad de una superficie mínima de curvatura total finita, también en función sólo de su género.​

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22 April 2016, 11:30, 1st floor Seminar room, IEMath-GR

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Título: Machine Learning: aprendizaje supervisado vs aprendizaje no supervisado

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Impartida por: Javier Álvarez Liébana (Departamento de Estadística e Investigación Operativa, Universidad de Granada)

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Abstract: Con el Machine Learning sucede como con las emociones: a veces es más sencillo explicar "lo que no es" que "lo que es". Ante el auge del BigData y la necesidad de extraer de forma fácil y rápida información de grandes bloques de datos, el Machine Learning ha ido creciendo en importancia en la extracción de información. Podemos definir el Machine Learning de forma muy escueta como el conjunto de técnicas y algoritmos que nos permiten convertir los datos en información (aunque dicha información no sea revelada de forma obvia en los datos), la cual es orientada a la construcción de sistemas informáticos que sean capaces de aprender de sus propios errores sin que haya una programación explícita para conseguir tal fin. Esta última parte es la que diferencia el Machine Learning del Data Mining clásico y ya caduco: las técnicas de Machine Learning buscan extraer información de los datos para producir mejoras en sistemas informáticos y cambiar su comportamiento a futuro; las técnicas de Data Mining buscan solo buscan una mejora en la comprensión (humana) que se tiene de dichos datos.

Intentaremos en la charla hablar sobre los conceptos básicos del Machine Learning, sus aplicaciones y los diferentes tipos de aprendizaje: supervisado, no supervisado, estocástico, por refuerzo, etc.

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4 de abril de 2016, 13:00, Seminario de la primera planta, IEMath-GR

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Título: Hipersuperficies maximales en espaciotiempos del tipo pp-wave

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Impartida por: José Antonio Sánchez Pelegrín (Departamento de Geometría y Topología, Universidad de Granada)

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Abstract: En esta charla estudiaremos las hipersuperficies espaciales de curvatura media constante y en particular las hipersuperficies maximales inmersas en espaciotiempos del tipo pp-wave que satisfacen la condición de convergencia temporal. Estos espaciotiempos son soluciones exactas de la ecuación de campo de Einstein y modelan radiación que se propaga a la velocidad de la luz. Además, daremos una extensión del teorema clásico de Calabi-Bernstein para espaciotiempos del tipo pp-wave.

Referencias:

[1] J. A. S. Pelegrín, A. Romero, R. M. Rubio. On maximal hypersurfaces in Lorentz manifolds admitting a parallel lightlike vector field, Class. Quantum Grav., to appear.

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15 de febrero de 2016, 13:00, Seminario de la primera planta, IEMath-GR

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Título: Un teorema de renormación para espacios de Banach casi cuadrados

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Impartida por: Abraham Rueda Zoca (Departamento de Análisis Matemático, Universidad de Granada)

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Abstract: Un espacio de Banach $X$ se dice casi cuadrado (ASQ) si dados $x_1,\ldots, x_n$ elementos de norma 1 y $\varepsilon>0$ existe $y$ un vector de norma 1 de manera que $$\Vert x_i\pm y\Vert\leq 1+\varepsilon\ \forall i\in\{1,\ldots, n\}.$$
Estas propiedades han aparecido recientemente en [1] por su buena relaciónn con las propiedades de diámetro dos y, a pesar de que se trata de una propiedad puramente geométrica, también ha sido considerada desde un punto de vista isomórfico. Por ejemplo, todo espacio de Banach ASQ contiene una copia isomorfa de $c_0$. Además, en [1] se prueba que un espacio de Banach separable puede renormarse equivalentemente para ser ASQ si, y sólamente si, contiene una copia isomorfa de $c_0$, planteando como problema abierto si puede eliminarse la hipótesis de separabilidad. En esta charla, proponemos exponer los resultados de [2] que conducen a la respuesta afirmativa a dicho problema, es decir, probaremos que todo espacio de Banach que contiene una copia isomorfa puede renormarse equivalentemente para ser ASQ, lo cual caracteriza los espacios de Banach que pueden renormarse para ser ASQ como aquellos que contienen una copia isomorfa de $c_0$.

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Referencias:
[1] T. Abrahamsen, J. Langemets y V. Lima, Almost square Banach spaces, Jour. Math. Anal. App. 434, 2 (2016), 1549-1565.

[2] J. Becerra, G. López y A. Rueda, Some results on almost square Banach spaces, preprint.

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14 de diciembre de 2015, 13:00, Seminario de la primera planta, IEMath-GR

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Title: Improper affine spheres and the Hessian one equation

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Speaker: Francisco Milán (Universidad de Granada)

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Abstract: The Hessian one equation and its complex resolution provides an important tool in the study of improper affine spheres. Conversely, the properties of these surfaces play an important role in the development of geometric methods for the study of their PDEs. We review some results of this good interplay and present our extension of the classical Ribaucour transformations to this subject. In particular, we construct new solutions and families of improper affine spheres, periodic in one variable, with any even number of complete embedded ends and singular set contained in a compact set. Also, we compare the Cauchy problem for the elliptic and non-elliptic Hessian equation, with some results about their admissible singularities, mainly, isolated singularities and singular curves with cuspidal edges and swallowtails.

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4 December 2015, 11:30, 1st floor Seminar room, IEMath-GR

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Title: Uniqueness of the Grim Reaper cylinder

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Speaker: Francisco Martín Serrano (Universidad de Granada)

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Abstract: In this article we prove that a connected, properly embedded translating soliton with uniformly bounded genus on compact sets which is $C^1$-asymptotic to two parallel planes outside a cylinder, must coincide with the grim reaper cylinder.

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2 October 2015, 12:00, Seminario de la primera planta, IEMath-GR

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Título: El flujo de la curvatura media en hipersuperficies del espacio euclídeo

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Impartida por: Jesús Pérez García (Departamento de Geometría y Topología, Universidad de Granada)

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Abstract: El objetivo de esta charla es presentar, a nivel introductorio, el flujo de la curvatura media desde un punto de vista geométrico, para lo cual usamos fundamentalmente resultados clásicos de Ecuaciones en Derivadas Parciales. Presentaremos los principales conceptos y resultados del flujo de la curvatura media en hipersuperficies (codimensión 1) del espacio euclídeo, con especial atención en las subvariedades gráficas, y los ilustraremos con varios ejemplos importantes y soluciones especiales.

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18 de enero de 2015, 13:00, Seminario de la primera planta, IEMath-GR

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Título: Medidas de riesgo en ámbitos espaciales y espacio-temporales

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Impartida por: José Luis Romero Béjar (Departamento de Estadística e Investigación Operativa, Universidad de Granada)

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Abstract: Entidades públicas y privadas dedicadas al estudio y análisis de un amplio número de fenómenos relacionados con Geociencias, Climatologia, Hidrología, entre otros campos, tienen como uno de sus principales focos de interés la evaluación del riesgo con el objetivo de minimizar costes y/o daños en la población. Herramientas tales como Value-at-Risk (VaR) y Expected Shortfall (AVaR ó ES) que valoran de algún modo este riesgo, tienen su origen asociado a problemas en el ámbito de las Finanzas y de las Ciencias Actuariales, en los que las características espaciales del fenómeno bajo estudio, en principio no son tenidas en cuenta. Sin embargo, desde un enfoque basado en campos aleatorios elementos de la geometría integral, teoría de conjuntos aleatorios cerrados y teoría de la medida no aditiva son fundamentales dependiendo del problema estudiado en relación con la valoración del riesgo: probabilidades de excedencia de umbrales están relacionadas con propiedades geométricas de los conjuntos de excursión en los que la característica de Euler- Poincaré esperada es esencial; definiciones de medidas de riesgo se obtienen como integrales de Choquet, y la teoría de conjuntos aleatorios cerrados ofrece recursos para que, una vez valorado el riesgo, se pueda deducir qué tipo de transferencias son posibles con el objeto de eliminarlo o reducirlo. Con esta charla se pretende introducir el problema general de estudio así como los principales elementos que intervienen en su análisis y mostrar una aplicación práctica en una situación real.

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25 de abril de 2016, 13:00, Seminario de la primera planta, IEMath-GR

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Título: Análisis blow-up para soluciones de ecuaciones de tipo Liouville

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Impartida por: Rafael López Soriano (Departamento de Análisis Matemático, Universidad de Granada)

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Abstract: En esta charla se propone estudiar la compacidad de soluciones de ecuaciones de tipo Liouville. Sea $\Sigma$ una superfice compacta equipada con una méetrica $g$, consideramos el siguiente problema
$$(1)\quad -\Delta_g u = \lambda \left(\frac{Ke^u}{\int_{\Sigma} Ke^u dV_g} -1 \right) \mbox{ en $\Sigma$}$$
donde $\Delta_g$ es el operador de Laplace-Beltrami, $\lambda>0$, $Vol_g(\Sigma)=\int_{\Sigma} 1 dV_g=1$ y $K$ una función definida en $\Sigma$. Cabe destacar que además de un interés físico, la ecuación (1) aparece en un problema de geometría clásico: el problema de la curvatura Gaussiana prescrita.

Sea $\{u_n\}$ una sucesión de soluciones de (1) y $\lambda_n\to\lambda>0$, asumiendo que $K>0$ es una función positiva, veremos que [1,2] establecen que existe una subsucesión $\{u_{n_k} \}$ que verifica una de las siguientes alternativas:

1. $u_{n_k}$ es uniformemente acotada superiormente en $\Sigma$ ;
2. $\displaystyle{\max_{\Sigma} \left( u_{n_k}-\int_{\Sigma}Ke^{u_{n_k}} \right)} \to + \infty$ y existe un conjunto finito (de blow-up) $S=\{x_1,\dots ,x_m\} \subset \Sigma $ tal que: a) $u_{n_k}(x_{l,n}) \to +\infty $ con $x_{l,n}\to x_l \in S$ y $u_{n_k} \to - \infty$ uniformemente en conjuntos compactos de $\Sigma \setminus S$; b) $\displaystyle{\lambda_{n_k} \frac{Ke^{u_{n_k}}}{\int_{\Sigma} Ke^{u_{n_k}} dV_g} \rightarrow \sum_{j=1}^m \beta_j \delta_{x_j}}$ débilmente en el sentido de las medidas, con $\beta_j=8n_j\pi$ con $n_j\in \mathbb{N}$.

[1] H. Brezis, F. Merle, Uniform estimates and blow--up behavior for solutions of $-\Delta u =V(x)e^{u}$ in two dimensions, Comm. Partial Differential Equations 16, (1991), 1223--1253.

[2] Y.Y. Li, I. Shafrir, Blow--up analysis for solutions of $-\Delta u=Ve^u$ in dimension two, Indiana Univ. Math. J. 43 (1994), no. 4, 1255–-1270.

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16 de noviembre de 2015, 13:00, Seminario de la primera planta, IEMath-GR

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