course

Motivación y objetivo del curso

En 1973, Penrose [4] propuso la conocida desigualdad geométrica, para probar el punto de vista de la clase que lideraba la teoría de agujeros negros. Dicha desigualdad establecía una inesperada relación entre elementos geométricos aparentemente sin relacion dentro de una clase de variedades lorentzianas (y riemannianas).
En pocas palabras, la desigualdad dice que la masa ADM del espacio-tiempo involucrado, calculada a partir de ciertas integrales que involucran a la curvatura de superficies asintóticas, debería de ser mayor o igual que la masa del agujero negro en dicho espacio-tiempo, calculada a partir de su área. Para una clase particular de espacio-tiempos, esta desigualdad se reduce a la desigualdad riemanniana de Penrose; una desigualdad sobre variedades de Riemann clasicas que afirma:
La masa ADM $m$ y el area $A$, de la superficia mínima exterior en una 3-variedad asintoticamente llana y de curvatura escalar no-negativa, satisfacen la siguiente desigualdad: $$ m \geq \sqrt{\frac{A}{16\pi}}, $$ y además se la la igualdad si, y sólo si, la 3-variedad es isométrica a la hoja espacial canónica del espacio-tiempo de Schwarzschild.
La demostracion de la desigualdad de Riemann-Penrose por parte de Huisken e Ilmanen al final del pasado siglo (véase [2]) fue un avance importante tanto para la Teoría de Agujeros Negros como para la Geometría Diferencial. Para la primera, tal desigualdad puede ser vista como el mejor test de su consistencia física, debido a la dificultad en observar evidencias directas de los agujeros negros. Para la Geometría Diferencial, la demostración puso de manifiesto cuán poderoso y versátil es el llamado flujo inverso de la curvatura media, incluyendo la formulación débil de las soluciones, que permite a las superficies del flujo ”saltar” mas allá de las singularidades. De hecho, este flujo fue usado poco después por Bray y Neves para calcular el invariante de Yamabe del espacio proyectivo real de dimensión 3 (véase [1]).
El propósito de este curso es el de estudiar en detalle la demostración de Huisken e Ilmanen, proporcionando previamente una perspectiva de las motivaciones físicas y de las herramientas acerca de flujos geométricos que son necesarias para su comprensión.

---

Estructura
Profesorado: Francisco Martín Serrano y Miguel Sánchez Caja.
Duración: 30 horas a lo largo de 20 semanas, en sesiones de 1 hora y media a la semana.
Contenidos

1. El marco físico del problema
2. Formulacion débil de las soluciones del flujo inverso por la curvatura media
3. La fórmula de monotonía de Geroch
4. Soluciones débiles de Huisken-Ilmanen
5. El ejemplo de Schwarzschild y rigidez

---

Referencias
[1] H. Bray, A. Neves, Classification of prime 3-manifolds with Yamabe invariant greater than $RP^3$. Annals of Mathematics 159 (2004), 407–424.
[2] G. Huisken, T. Ilmanen, The Inverse mean curvature flow and the Riemannian Penrose inequality J. Diff. Geom. 59 (2001), 353–437.
[3] M. Mars, Present status of the Penrose inequality, Classical Quantum Gravity 26 (2009), no. 19, 193001.
[4] R. Penrose, Naked singularities, Ann. New York Acad. Sci., 224 (1973) 125–134.