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Superficies mínimas: Introducción a la teoría estructural de Colding y Minicozzi.

Superficies mínimas: Introducción a la teoría estructural de Colding y Minicozzi.

Asignatura del Máster en Matemáticas: Matemáticas aplicadas a la informática




Más información en la web del máster.

• Date: Friday September 18th to Friday November 20th.
• Time: 10:00h - 12:00h.
• Place: Gauss Seminar, IMAG, UGR.
• Area: Geometría diferencial y análisis geométrico.
• Language: Spanish.
• Speaker: Francisco Martín Serrano.
• Title: Superficies mínimas - Introducción a la teoría estructural de Colding y Minicozzi.
• Abstract: La teoría clásica de superficies mínimas constituye uno de los puntos de encuentro más fértiles entre geometría diferencial, cálculo de variaciones, teoría de ecuaciones elípticas y topología. En la últimas décadas, el estudio de superficies mínimas embebidas en variedades tridimensionales ha experimentado un avance decisivo gracias a la teoría estructural de Colding y Minicozzi. Sus estimaciones de curvatura, el análisis de gráficas multivaluadas y los teoremas de laminación permiten describir con gran precisión qué ocurre cuando una sucesión de superficies embebidas pierde control de curvatura. El curso propone una entrada gradual en esta teoría. Tras revisar los fundamentos analíticos y geométricos indispensables, se estudiará el paradigma del helicoide como doble escalera de caracol, la estimación unilateral de curvatura, la aparición de gráficas multivaluadas y la dicotomía entre regiones de tipo disco y regiones con cuellos. El objetivo no es reproducir todos los detalles técnicos de la serie original, sino proporcionar al estudiante un mapa conceptual riguroso, acceso a algunos argumentos fundamentales y la preparación necesaria para abordar la literatura especializada.

Summary

Translating solitons (“translators”) of the mean curvature flow (MCF) are geometric objects of central importance in the study of singularities of curvature flows. They arise naturally as blow-up limits around type-II singularities and as stationary points of a weighted area functional in Ilmanen’s conformal metric. As such, they play a key role in geometric analysis, PDE theory, and the global study of noncompact geometric structures.
These lectures provide an introduction to the analytic, geometric, and topological properties of translators, with emphasis on recent developments. After reviewing the classical examples and fundamental equations, we present the main construction techniques, explain major classification theorems, and introduce the modern framework distinguishing collapsed from noncollapsed translators. This distinction is essential for the singularity analysis of MCF and for several recent breakthroughs concerning finite entropy, asymptotic behaviour, and uniqueness of tangent flows at infinity.
The course is suitable for graduate students with interest in geometric analysis—particularly those working in minimal surfaces, mean curvature flow, or geometric PDEs. The techniques developed here originate in geometric analysis and may be used in both Riemannian and Lorentzian geometry.

Brief Description of the Objectives of the Course

This course is aimed at students who have completed either of the University of Granada Master’s degrees in Mathematics or in Physics and Mathematics, as well as students from other universities with an interest in geometric analysis. The activity originates from both the lecturer’s initiative and the interest expressed by doctoral students and postdoctoral researchers at IMAG working in differential geometry and geometric analysis.
The course aims to introduce students to the theory of translating solitons—bridging mean curvature flow, minimal surface theory, and modern PDE techniques—and to provide them with enough background to follow current research papers in the area. The techniques and methods discussed here arise from geometric analysis and can be applied in a wide variety of contexts, including Riemannian and Lorentzian geometry.

Motivations

• This activity responds to the initiative of IMAG to expand specialised training and will be managed through the Graduate School for certification purposes.
• The course will be held in IMAG classrooms to increase the number of scientific activities conducted at the Institute.

Detailed Contents of the Course

• 1. Introduction:Mean curvature flow (MCF). Translating solitons as eternal solutions. Weighted area and Ilmanen’s conformal metric. Relation to singularity models. Examples and first properties.
  Elliptic formulation of the translator equation. Basic analytical tools: maximum principle, stability operator, weighted monotonicity.
• 2. Classical Examples of Translators:The grim reaper and its cylinders. The bowl soliton: uniqueness and convexity. Translating catenoids and helicoidal translators. Tilted grim reapers and periodic examples.
  Topological and geometric features. Asymptotic behaviour.
• 3. Graphical and Jenkins–Serrin Constructions: Jenkins–Serrin-type boundary problems for the translator equation. Construction of graphical translators on strips and convex domains. Infinite boundary values and compatibility conditions.
  Applications to semigraphical translators.
• 4. Modern Constructions: Nguyen’s Tridents and Beyond: Nguyen’s tridents and their classification (Hoffman–Martín–White). The role of symmetry, barrier constructions, and limiting procedures.
  New families of translators in slabs and sectors.
• 5. Collapsed vs. Noncollapsed Translators: Interior ball condition and the Haslhofer–Kleiner noncollapsing framework.
  Definition of collapsed translators: finite entropy, anisotropic ends, and noncompact links.
  Main results: classification of finite entropy translators in slabs; uniqueness of tangent planes at infinity; (non-)removable singularities.
• 6. Applications to Singularity Analysis in Mean Curvature Flow: How translators model type-II singularities.
  Implications of collapsed and noncollapsed behaviour for uniqueness of blow-up limits.
  Examples, counterexamples, and open problems.

Basic Bibliography

• D. Hoffman, T. Ilmanen, F. Martín, B. White, Notes on Translating Solitons for Mean Curvature Flow, arXiv (2019).
• J. Spruck and L. Xiao, Complete translating solitons in R³, American Journal of Mathematics.
• F. Martín, A. Savas-Halilaj, K. Smoczyk, On the topology of translating solitons, Calc. Var. PDE (2015).
• D. Hoffman, F. Martín, B. White, X.H. Nguyen — papers on semigraphical translators and tridents.
• K. Choi, R. Haslhofer, O. Hershkovits — classification and nonexistence results for noncollapsed translators.
• E.S. Gama, F. Martín, N.M. Møller — recent results on finite entropy and collapsed translators.

Los valores propios del operador de Laplace en una variedad Riemanniana compacta Mⁿ son invariantes Riemannianos de naturaleza analítica [BGM]. En particular, el primer valor propio (no trivial), λ₁(Mⁿ), contiene información intrínseca significativa sobre Mⁿ [BGM]. En el caso en que Mⁿ sea una subvariedad compacta del espacio euclídeo, la búsqueda de relaciones entre λ₁(Mⁿ) y alguna cantidad extrínseca surge de manera natural.

En esta dirección, R.C. Reilly demostró, en su relevante artículo [Re], que el primer valor propio de una subvariedad compacta de dimensión n en un espacio euclídeo de dimensión n + p está acotado superiormente por n veces el valor promedio del cuadrado de la norma del campo vectorial de curvatura media correspondiente. Además, si el valor propio alcanza dicha cota, entonces la subvariedad se encuentra mínimalmente contenida en una hiperesfera del espacio euclídeo.

A través de un contraejemplo, mostraremos que el resultado de Reilly no se cumple para una subvariedad compacta espacial de codimensión ≥ 2 en el espaciotiempo de Lorentz-Minkowski [PaRo]. En la búsqueda de un resultado alternativo, revisaremos la demostración original de Reilly [Re], observando que no se puede aplicar a una subvariedad espacial compacta del espaciotiempo de Lorentz-Minkowski.

A continuación, se desarrollará la nueva técnica introducida en [PaRo], basada en una fórmula integral sobre una sección espacial compacta del cono de luz en el espaciotiempo de Lorentz-Minkowski. Esta técnica es genuina en nuestro contexto, es decir, no puede extenderse a otros espacios semi-euclídeos de índice superior. Como aplicación, se obtiene una familia de cotas superiores para λ₁(Mⁿ) cuando Mⁿ es una subvariedad espacial compacta del espaciotiempo de Lorentz-Minkowski [PaRo]. Luego, se caracteriza geométricamente el caso de igualdad en una de estas desigualdades.

En el camino, se vuelve a demostrar el resultado original de Reilly [Re] cuando una subvariedad compacta del espacio euclídeo ℝⁿ⁺¹ es vista naturalmente como una subvariedad espacial del espaciotiempo de Lorentz-Minkowski 𝕃ⁿ⁺² a través de un hiperplano espacial. En este caso, se calcula explícitamente una nueva cota superior para λ₁(Mⁿ) cuando Mⁿ no está contenida mínimalmente en una hiperesfera del hiperplano espacial [PaRo2]. Esta nueva estimación mejora la cota superior clásica dada por Reilly en [Re]. Finalmente, ilustramos esta mejora con varios ejemplos concretos [PaRo2].

Programa completo del curso

Title: Quadrature Formula on compact spaces with kernel functions.

Speaker: Martin Buhmann, Justus-Liebig-Universität Giessen (Germany).

Abstract:

Quadrature (discretisation) methods are very important for theoretical and practical purposes, for example for numerical approximations of the integrals that turn up in Volterra and Fredholm integral equations of the first and second kinds.

In this talk, we shall present a general approach to giving error estimates for large classes of kernels, distance functions and integrals with weights and measures.

Some of these methods improve upon known results. We shall give many examples of kernels and applications for illustration and explain some details about the proofs of the results. Most of the theorems hold for very general cases of domains and types of integrals used in theory and applications.