Seminario de Ecuaciones Diferenciales
Conferenciante: José M. Mazón (Universidad de Valencia)
Título: Las desigualdades de Kurdyka-Lojasiewicz-Simon para flujos gradiente en espacios métricos
Fecha y hora: 11 de enero de 2018, 11:00
Lugar: Sala de Conferencias, Facultad de Ciencias
Resumen: La clásica desigualdad de Lojasiewicz y sus extensiones debidas a Simony Kurdyka han tenido un considerable impacto en el estudio del comportamiento asintótico para flujos gradiente en espacios de Hilbert. Nuestro objetivo es adaptar estas clásicas desigualdades al marco general de flujos gradiente en espacios métricos. Mostramos que la validez de la desigualdad de Kurdyka- Lojasiewicz implica la convergencia al equilibrio y la validez de la desigualdad de Lojasiewicz-Simonnos permite obtener estimaciones del decaimiento y en algunos casos el tiempo finito de extinción. Los métodos de entropía han provado ser muy útiles en el estudio del comportamiento asintótico de mucha ecuaciones en derivadas parciales. Dicho método se basa en la desigualdad de producción de entropía (Desigualdad log-Sobolev) y en la desigualdad de transporte de entropía (Desigualdad de Talagrand). Demostramos que para funcionales de energía geodésicamente convexos dichas desigualdades son equivalentes y coinciden con la desigualdad de Lojasiewicz-Simon. Finalmente aplicamos nuestros resultados abstractos a ejemplos concretos en espacios de Hilbert y en espacios de medidas de probabilidad con la distancia de Wasserstein. Por ejemplo, para el funcional de energía asociado con ecuaciones doblemente no lineales obtenemos la equivalencia entre las desigualdades de Lojasiewicz-Simon,log-Sobolev y Talagrand; estudiando también estimaciones del decaimiento de sus soluciones.